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旋轮线方程怎么推导出来的？

旋轮线顾名思义就是一个旋转的轮子上某点画出的轨迹，又叫做摆线。它的图像与参数方程如下图所示：

在这里，a是轮子的半径。请注意，这个轮子是只滚动不打滑的，物理上叫做“无滑滚动”。而且，这个滚动是匀速的，不像有的人骑自行车，是忽快忽慢的。

角度theta当然就是转动角了，很明显，当theta从0开始变360度的时候，整个曲线就会重复。

那么，怎么样才能写出这个曲线方程呢？

我们可以把运动分解为两部分，x方向与y方向，我们用参数方程把这两部分写出来就可以了。

x方向是均匀直线运动再叠加上一个旋转运动在x方向的投影。旋转运动在x方向的投影其实是一个简谐振动，我们把时间t用角度theta来表出——因为旋转是均匀的，所以时间t与转动角theta成正比，比例系数是角速度。这样，我们就得到了x方程的运动方程。

y方向其实就很简单了，它是旋转运动在y方向的投影，所以它是一个简谐振动。因此，我们把y方向的运动方程也能写出来。

这样，我们就得到了x与y方向的运动方程了。

旋轮线方程就是上面的方程组。你可以把角度theta消除，就可以得到x与y的关系。当然了，这个事情不好干，不如写成参数方程的样子就好了。

17世纪瑞士数学家约翰·伯努利向“地球”上所有数学家提出一个挑战性的数学问题

那么这问题是这的：有两个不同高度的点，A点在B点上方，并且A不在B的正上方。有一小球要从A点滚落到B点，不计一切阻力，仅受重力作用，问：哪种滚落路径耗时最短？

这就是“最速曲线”问题！（图像就是旋轮线）

可能大多数人的第一反应是从A到B的直线路径，因为两点间直线是最短嘛！

然事实却不是这样，当时欧洲的数学家们花了半年的时间去求解但依旧没有收获，只有伯努利兄弟本人知道答案，后来在英国的牛顿听一朋友说（作为物理学家，数学家消息速度有些落后啊），才知道有这么回事，于是当天忙完造币厂的工作，晚上回家，想了一夜，第二天答案就解出来了！（可见当时牛顿虽然在做厂长，但是数学能力依旧强悍！）

然后下面就提供一个“粗糙简陋”的数学过程（有兴趣的读者可看下）

①我们以下落的位移方向建个直角坐标系，向右是x正轴，向下是y正轴，A点与原点重合

②在整个过程中，能量守恒，势能化为动能，那么瞬时速度易得

③对于小球的路径，设为r，那么每段极短的路径就为dr，容易知道，dr可以分为dx和dy两段分位移，得

④将时间积分后，得到

⑤对上面的泛函式，进行一系列解算，就能将轨迹方程得出，如下

这就是旋轮线方程

这个最速曲线还有一个称呼：等时曲线，这一点就很牛了，意味着：意思咱们把小球放在曲线的任意一点上，它最终到达B点的时间都是一样的！

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