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学 习 目 标

核 心 素 养

1.通过实例了解 *** 的含义.(难点)

2.掌握 *** 中元素的三个特性.(重点)

3.体会元素与 *** 的“属于”关系,记住常用数集的表示符号并会应用.(重点、易混点)

1.通过 *** 概念的学习,逐步形成数学抽象素养.

2.借助 *** 中元素的互异性的应用,培养逻辑推理素养.

1.元素与 *** 的相关概念

(1)元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.

(2) *** :一些元素组成的总体叫做 *** (简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.

(3) *** 相等:指构成两个 *** 的元素是一样的.

(4) *** 中元素的特性:确定性、互异性和无序性.

思考:(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个 *** ?

(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个 *** ?

提示:(1)某班所有的“帅哥”不能构成 *** ,因为“帅哥”没有明确的标准.

(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个 *** ,因为标准确定.

2.元素与 *** 的关系

(1)属于:如果a是 *** A的元素,就说a属于 *** A,记作a∈A.

(2)不属于:如果a不是 *** A中的元素,就说a不属于 *** A,记作a?A.

3.常见的数集及表示符号

数集

非负整数集(自然数集)

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*或N+

Z

Q

R

1.下列给出的对象中,能构成 *** 的是(  )

A.一切很大的数

B.好心人

C.漂亮的小女孩

D.清华大学2019年入学的全体学生

D [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准,故选项A、B、C中的元素均不能构成 *** ,故选D.]

2.用“book”中的字母构成的 *** 中元素个数为(  )

A.1    B.2

C.3 D.4

C [由 *** 中元素的互异性可知,该 *** *** 有“b”“o”“k”三个元素.]

3.用“∈”或“?”填空:

________N;-3________Z;________Q;0________N*;________R.

[答案] ? ∈ ? ? ∈

4.已知 *** M有两个元素3和a+1,且4∈M,则实数a=________.

3 [由题意可知a+1=4,即a=3.]

*** 的基本概念

【例1】 考察下列每组对象,能构成 *** 的是(  )

①中国各地最美的乡村;

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;

③不小于3的自然数;

④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.

A.③④     B.②③④

C.②③ D.②④

B [①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可构成 *** ,故选B.]

判断一组对象能否组成 *** 的标准

判断一组对象能否组成 *** ,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成 *** ;否则,不能组成 *** .同时还要注意 *** 中元素的互异性、无序性.

1.判断下列说法是否正确,并说明理由.

(1)大于3小于5的所有自然数构成一个 *** ;

(2)直角坐标平面内之一象限的一些点组成一个 *** ;

(3)方程(x-1)2(x+2)=0所有解组成的 *** 有3个元素.

[解] (1)正确,(1)中的元素是确定的,互异的,可以构成一个 *** .

(2)不正确,“一些点”标准不明确,不能构成一个 *** .

(3)不正确,方程的解只有1和-2, *** 中有2个元素.

元素与 *** 的关系

【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是(  )

①π∈R;②?Q;③0∈N*;④|-5|?N*.

A.1   B.2 C.3    D.4

(2)已知 *** A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,那么a为(  )

A.2 B.2或4

C.4 D.0

(1)B (2)B [(1)①π是实数,所以π∈R正确;

②是无理数,所以?Q正确;③0不是正整数,所以0∈N*错误;④|-5|=5为正整数,所以|-5|?N*错误.故选B.

(2) *** A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,a=2∈A,6-a=4∈A,

所以a=2,

或者a=4∈A,6-a=2∈A,

所以a=4,

综上所述,a=2或4.故选B.]

判断元素与 *** 关系的2种 ***

(1)直接法:如果 *** 中的元素是直接给出,只要判断该元素在已知 *** 中是否出现即可.

(2)推理法:对于一些没有直接表示的 *** ,只要判断该元素是否满足 *** 中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知 *** 中的元素具有什么特征.

2. *** A中的元素x满足∈N,x∈N,则 *** A中的元素为________.

0,1,2 [∵∈N,

∴3-x=1或2或3或6,

即x=2或1或0或-3.

又x∈N,故x=0或1或2.

即 *** A中的元素为0,1,2.]

*** 中元素的特性及应用

[探究问题]

1.若 *** A中含有两个元素a,b,则a,b满足什么关系?

提示:a≠b.

2.若1∈A,则元素1与 *** A中的元素a,b存在怎样的关系?

提示:a=1或b=1.

【例3】 已知 *** A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.

[思路点拨] 

[解] 由题意可知,a=1或a2=a,

(1)若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.

(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足 *** 中元素的互异性,符合题意.

综上可知,实数a的值为0.

1.(变条件)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围.

[解] 由 *** 中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.

2.(变条件)已知 *** A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.

[解] 若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.

当a=1时, *** A有重复元素,

所以a≠1;

当a=-1时, *** A含有两个元素1,-1,符合 *** 中元素的互异性,所以a=-1.

1.解决含有字母的问题,常用到分类讨论的思想,在进行分类讨论时,务必明确分类标准.

2.本题在解方程求得a的值后,常因忘记验证 *** 中元素的互异性,而造成过程性失分.

提醒:解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形.

1.判断一组对象的全体能否构成 *** 的依据是元素的确定性,若考查的对象是确定的,就能组成 *** ,否则不能组成 *** .

2. *** 中的元素具有三个特性,求解与 *** 有关的字母参数值(范围)时,需借助 *** 中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求.

3.解答含有字母的元素与 *** 之间关系的问题时,要有分类讨论的意识.

1.思考辨析

(1)接近于0的数可以组成 *** .(  )

(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个 *** 是相等的.(  )

(3)一个 *** 中可以找到两个相同的元素.(  )

[答案] (1)× (2)√ (3)×

2.已知 *** A由x<1的数构成,则有(  )

A.3∈A     B.1∈A

C.0∈A D.-1?A

C [∵0<1,∴0是 *** A中的元素,故0∈A.]

3.下列各组对象不能构成一个 *** 的是(  )

A.不超过20的非负实数

B.方程x2-9=0在实数范围内的解

C.的近似值的全体

D.某校身高超过170厘米的同学的全体

C [A项,不超过20的非负实数,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个 *** .B项,方程x2-9=0在实数范围内的解,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个 *** .C项,的近似值的全体,元素不具有确定性,不能构成一个 *** .D项,某校身高超过170厘米的同学,同学身高具有确定性、互异性、无序性,能构成一个 *** .故选C.]

4.已知 *** A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值.

[解] ∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1,

若-3=a-3,

则a=0,

此时 *** A中含有两个元素-3,-1,符合题意;

若-3=2a-1,则a=-1,

此时 *** A中含有两个元素-4,-3,符合题意.

综上所述,a=0或a=-1.

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